Para provar essa igualdade, utilizamos o método de Indução Matemática: 1. Base da Indução (\(n=1\)): Substituímos \(n=1\) em ambos os lados da equação: 2. Hipótese de Indução: Supomos que a fórmula seja válida para um número natural \(k\): $$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$$ 3. Passo Indutivo: Devemos
Passo a Passo da Prova Tomemos por \(S_n\) o primeiro membro da desigualdade. i) Para \(n=2\), temos \(S_2=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2+2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=\frac{14}{24}\) Como \(\frac{14}{24}>\frac{13}{24}\), a proposição é verdadeira para \(n=2\). ii) Suponhamos que \(S_n\) seja verdadeira para algum \(n\in\mathbb{N}\). Assim, devemos mostrar que é verdadeira, também, para \(S_{n+1}\). De fato, $$S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$$ e $$S_{n+1}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$$ Ao compararmos \(S_n\) e \(S_{n+1}\), vemos
Como a proposição se mantém verdadeira para o passo \(n+1\), ela é válida para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Seja \((a_1, a_2, a_3, \dots)\) uma progressão geométrica. (a) Mostre que se \(m + n = r + s\) então \(a_m \cdot a_n = a_r \cdot a_s\). (b) Suponha que a progressão geométrica \((a_n)\) é uma sequência crescente de números reais positivos e que \(a_1 \cdot a_5 = 7\) e \(a_2 + a_4 = 8\).
Determine (a) o resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23. (b) o algarismo das unidades do número \(17^{509} + 19^{905}\). Solução (a) O resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23 Para resolver este item de forma eficiente, aplicamos o Pequeno Teorema de Fermat.
Questão 03 (a) Se \(y = x + \frac{1}{x}\), mostre que \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2\). (b) Considere a função real polinomial \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a\), em que \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\). Transforme \(\frac{p(x)}{x^2}\) em uma função polinomial de grau 2
Considere o conjunto \(C\) de todos os números de \(3\) algarismos distintos que podem ser formados utilizando-se apenas os algarismos \(1, 2, 3, 5\) e \(8\). (a) Quantos elementos de \(C\) são menores do que \(800\)? (b) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(55\)? (c) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(12\)? Solução
Questão 02 (a) Determine a soma, em função de \(n\), dos divisores positivos de \(3^n\), com \(n\) inteiro positivo. (b) Determine a soma, em função de \(m\) e \(n\), dos divisores positivos de \(2^m \cdot 3^n\), com \(m\) e \(n\) inteiros positivos. Solução Item (a) Considere o número \(3^n\), onde $n$ é um inteiro positivo.
Prove por indução que \(n^3 – n\) é divisível por \(6\) para todo \(n \geq 1\). Para \(n=1\), temos: \(1^3 – 1 = 1 – 1 = 0\) Como \(0 = 6 \cdot 0\), então \(0\) é divisível por 6.A afirmação é verdadeira para \(n=1\). Suponha que a afirmação seja verdadeira para \(k \geq 1\),
Dizemos que dois polinômios \(p(X)\) e \(q(X)\) são tangentes para \(X = r\) quando a diferença \(p(X) – q(X)\) é divisível por \((X – r)^2\). (a) Mostre que \(p(X) = aX^2 + bX + c\) e \(q(X) = (2ar + b)X + (c – ar^2)\) são tangentes para \(X = r\). (b) Seja \(p(X) =
Para cada sentença abaixo, diga se ela é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. \((a)\) Existe um número real \(x\) tal que \(5x + 7 < 2 – x < 7x + 8\). \((b)\) Se \(x\) é um número real tal que \(x > 3\), então$$\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 – 4x + 3} >
Determine um número inteiro entre \(1200\) e \(1400\) que deixa restos \(2\) e \(6\) quando dividido, respectivamente, por \(11\) e \(13\). Solução: Queremos determinar uma solução inteira \(x\), \(1200<x<1400\),do seguinte sistema de congruencias: $$ \begin{cases}x \equiv 2 \pmod{11} \\x \equiv 6 \pmod{13}\end{cases}$$ Como \((11,13)=1\), podemos aplicar o Teorema Chinês dos Restos. Considere \(M = 11\cdot