Sabendo que a tangente de um ângulo agudo \(\alpha\) é igual a \(2\), qual o valor de \((\text{sen }\alpha + \cos\alpha)^2\)? (A) \(\frac{3}{5}\)(B) \(\frac{4}{5}\)(C) \(\frac{7}{5}\)(D) \(\frac{8}{5}\)(E) \(\frac{9}{5}\) Usaremos dois métodos para resolver está questão. Método 1: Usando Identidades Trigonométricas (Resolução Algébrica) Este é o método demonstrado no gabarito oficial da prova, porem mais detalhado, ideal […]
Um retângulo tem \(60\text{ cm}^2\) de área e sua diagonal mede \(13\text{ cm}\). Qual o perímetro, em centímetros, desse retângulo? (A) 34. (B) 32. (C) 35. (D) \(7\sqrt{34}\). (E) \(9\sqrt{17}\). Solução Passo a Passo Para resolver essa questão de forma eficiente, vamos modelar o problema algebricamente e usar uma técnica clássica envolvendo produtos notáveis. Definindo
2) A parábola \(y = ax^2 + bx + c\) passa pelo ponto \((2, 6)\). Sabendo que \(2\) é a ordenada do ponto onde a parábola corta o eixo vertical, qual o valor de \(2a + b + c\)? (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6. Solução Passo a Passo Para resolver
1) Após caminhar 20% do que havia planejado, Carolina caminhou mais 2 km e alcançou 1/3 de sua meta. Quantos quilômetros Carolina planejou caminhar? (A) 5. (B) 7. (C) 10. (D) 15. (E) 20. Solução Passo a Passo Para resolver essa questão de forma clara, o grande segredo é traduzir o texto do problema para
Para provar esta desigualdade, utilizaremos o Princípio da Indução Matemática. 1. Base da Indução (\(n=4\)): Primeiro, verificamos se a proposição é verdadeira para o menor valor possível, que neste caso é \(n = 4\). 2. Hipótese de Indução: Supomos que a desigualdade seja válida para um determinado número natural \(k\) (com \(k \ge 4\)). Ou
Para provar essa igualdade, utilizamos o método de Indução Matemática: 1. Base da Indução (\(n=1\)): Substituímos \(n=1\) em ambos os lados da equação: 2. Hipótese de Indução: Supomos que a fórmula seja válida para um número natural \(k\): $$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$$ 3. Passo Indutivo: Devemos
Passo a Passo da Prova Tomemos por \(S_n\) o primeiro membro da desigualdade. i) Para \(n=2\), temos \(S_2=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2+2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=\frac{14}{24}\) Como \(\frac{14}{24}>\frac{13}{24}\), a proposição é verdadeira para \(n=2\). ii) Suponhamos que \(S_n\) seja verdadeira para algum \(n\in\mathbb{N}\). Assim, devemos mostrar que é verdadeira, também, para \(S_{n+1}\). De fato, $$S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$$ e $$S_{n+1}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$$ Ao compararmos \(S_n\) e \(S_{n+1}\), vemos
Como a proposição se mantém verdadeira para o passo \(n+1\), ela é válida para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Seja \((a_1, a_2, a_3, \dots)\) uma progressão geométrica. (a) Mostre que se \(m + n = r + s\) então \(a_m \cdot a_n = a_r \cdot a_s\). (b) Suponha que a progressão geométrica \((a_n)\) é uma sequência crescente de números reais positivos e que \(a_1 \cdot a_5 = 7\) e \(a_2 + a_4 = 8\).
Determine (a) o resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23. (b) o algarismo das unidades do número \(17^{509} + 19^{905}\). Solução (a) O resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23 Para resolver este item de forma eficiente, aplicamos o Pequeno Teorema de Fermat.
Questão 03 (a) Se \(y = x + \frac{1}{x}\), mostre que \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2\). (b) Considere a função real polinomial \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a\), em que \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\). Transforme \(\frac{p(x)}{x^2}\) em uma função polinomial de grau 2
Considere o conjunto \(C\) de todos os números de \(3\) algarismos distintos que podem ser formados utilizando-se apenas os algarismos \(1, 2, 3, 5\) e \(8\). (a) Quantos elementos de \(C\) são menores do que \(800\)? (b) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(55\)? (c) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(12\)? Solução