Seja \((a_1, a_2, a_3, \dots)\) uma progressão geométrica. (a) Mostre que se \(m + n = r + s\) então \(a_m \cdot a_n = a_r \cdot a_s\). (b) Suponha que a progressão geométrica \((a_n)\) é uma sequência crescente de números reais positivos e que \(a_1 \cdot a_5 = 7\) e \(a_2 + a_4 = 8\). […]

Determine (a) o resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23. (b) o algarismo das unidades do número \(17^{509} + 19^{905}\). Solução (a) O resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23 Para resolver este item de forma eficiente, aplicamos o Pequeno Teorema de Fermat.

Questão 03 (a) Se \(y = x + \frac{1}{x}\), mostre que \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2\). (b) Considere a função real polinomial \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a\), em que \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\). Transforme \(\frac{p(x)}{x^2}\) em uma função polinomial de grau 2

Considere o conjunto \(C\) de todos os números de \(3\) algarismos distintos que podem ser formados utilizando-se apenas os algarismos \(1, 2, 3, 5\) e \(8\). (a) Quantos elementos de \(C\) são menores do que \(800\)? (b) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(55\)? (c) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(12\)? Solução

Questão 02 (a) Determine a soma, em função de \(n\), dos divisores positivos de \(3^n\), com \(n\) inteiro positivo. (b) Determine a soma, em função de \(m\) e \(n\), dos divisores positivos de \(2^m \cdot 3^n\), com \(m\) e \(n\) inteiros positivos. Solução Item (a) Considere o número \(3^n\), onde $n$ é um inteiro positivo.

Dizemos que dois polinômios \(p(X)\) e \(q(X)\) são tangentes para \(X = r\) quando a diferença \(p(X) – q(X)\) é divisível por \((X – r)^2\). (a) Mostre que \(p(X) = aX^2 + bX + c\) e \(q(X) = (2ar + b)X + (c – ar^2)\) são tangentes para \(X = r\). (b) Seja \(p(X) =

Para cada sentença abaixo, diga se ela é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. \((a)\) Existe um número real \(x\) tal que \(5x + 7 < 2 – x < 7x + 8\). \((b)\) Se \(x\) é um número real tal que \(x > 3\), então$$\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 – 4x + 3} >

Determine um número inteiro entre \(1200\) e \(1400\) que deixa restos \(2\) e \(6\) quando dividido, respectivamente, por \(11\) e \(13\). Solução: Queremos determinar uma solução inteira \(x\), \(1200<x<1400\),do seguinte sistema de congruencias: $$ \begin{cases}x \equiv 2 \pmod{11} \\x \equiv 6 \pmod{13}\end{cases}$$ Como \((11,13)=1\), podemos aplicar o Teorema Chinês dos Restos. Considere \(M = 11\cdot

Uma moeda honesta é lançada sucessivas vezes. (a) (10 pts) Se a moeda for lançada 4 vezes, qual é a probabilidade de que o número observado de caras seja ímpar? E se a moeda for lançada 5 vezes? (b) (5 pts) Observando o resultado do item (a), formule uma conjectura sobre a probabilidade de se

Questão 2 (a) (5 pts) Dado um número \(a > 0\), quanto medem os lados do retângulo de perímetro mínimo cuja área é \(a\)? (b) (10 pts) Justifique matematicamente por que não se pode responder o item (a) se trocarmos “mínimo” por “máximo”. Solução (a) Sejam \(x\) e \(y\) as dimensões de um retângulo de

Um corpo está contido num ambiente de temperatura constante. Decorrido o tempo \(t \) (em minutos), seja \(D(t) \) a diferença entre a temperatura do corpo e do ambiente. Segundo a Lei do Resfriamento de Newton, \(D(t) \) é uma função decrescente de $t$, com a propriedade de que um decréscimo relativo $$\frac{D(t) – D(t+h)}{D(t)}$$