Questão 02 (a) Determine a soma, em função de \(n\), dos divisores positivos de \(3^n\), com \(n\) inteiro positivo. (b) Determine a soma, em função de \(m\) e \(n\), dos divisores positivos de \(2^m \cdot 3^n\), com \(m\) e \(n\) inteiros positivos. Solução Item (a) Considere o número \(3^n\), onde $n$ é um inteiro positivo. […]
Prove por indução que \(n^3 – n\) é divisível por \(6\) para todo \(n \geq 1\). Para \(n=1\), temos: \(1^3 – 1 = 1 – 1 = 0\) Como \(0 = 6 \cdot 0\), então \(0\) é divisível por 6.A afirmação é verdadeira para \(n=1\). Suponha que a afirmação seja verdadeira para \(k \geq 1\),
Dizemos que dois polinômios \(p(X)\) e \(q(X)\) são tangentes para \(X = r\) quando a diferença \(p(X) – q(X)\) é divisível por \((X – r)^2\). (a) Mostre que \(p(X) = aX^2 + bX + c\) e \(q(X) = (2ar + b)X + (c – ar^2)\) são tangentes para \(X = r\). (b) Seja \(p(X) =
Para cada sentença abaixo, diga se ela é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. \((a)\) Existe um número real \(x\) tal que \(5x + 7 < 2 – x < 7x + 8\). \((b)\) Se \(x\) é um número real tal que \(x > 3\), então$$\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 – 4x + 3} >
Determine um número inteiro entre \(1200\) e \(1400\) que deixa restos \(2\) e \(6\) quando dividido, respectivamente, por \(11\) e \(13\). Solução: Queremos determinar uma solução inteira \(x\), \(1200<x<1400\),do seguinte sistema de congruencias: $$ \begin{cases}x \equiv 2 \pmod{11} \\x \equiv 6 \pmod{13}\end{cases}$$ Como \((11,13)=1\), podemos aplicar o Teorema Chinês dos Restos. Considere \(M = 11\cdot
Uma moeda honesta é lançada sucessivas vezes. (a) (10 pts) Se a moeda for lançada 4 vezes, qual é a probabilidade de que o número observado de caras seja ímpar? E se a moeda for lançada 5 vezes? (b) (5 pts) Observando o resultado do item (a), formule uma conjectura sobre a probabilidade de se
Questão 2 (a) (5 pts) Dado um número \(a > 0\), quanto medem os lados do retângulo de perímetro mínimo cuja área é \(a\)? (b) (10 pts) Justifique matematicamente por que não se pode responder o item (a) se trocarmos “mínimo” por “máximo”. Solução (a) Sejam \(x\) e \(y\) as dimensões de um retângulo de
Um corpo está contido num ambiente de temperatura constante. Decorrido o tempo \(t \) (em minutos), seja \(D(t) \) a diferença entre a temperatura do corpo e do ambiente. Segundo a Lei do Resfriamento de Newton, \(D(t) \) é uma função decrescente de $t$, com a propriedade de que um decréscimo relativo $$\frac{D(t) – D(t+h)}{D(t)}$$