Um retângulo tem \(60\text{ cm}^2\) de área e sua diagonal mede \(13\text{ cm}\). Qual o perímetro, em centímetros, desse retângulo? (A) 34. (B) 32. (C) 35. (D) \(7\sqrt{34}\). (E) \(9\sqrt{17}\). Solução Passo a Passo Para resolver essa questão de forma eficiente, vamos modelar o problema algebricamente e usar uma técnica clássica envolvendo produtos notáveis. Definindo […]
2) A parábola \(y = ax^2 + bx + c\) passa pelo ponto \((2, 6)\). Sabendo que \(2\) é a ordenada do ponto onde a parábola corta o eixo vertical, qual o valor de \(2a + b + c\)? (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6. Solução Passo a Passo Para resolver
1) Após caminhar 20% do que havia planejado, Carolina caminhou mais 2 km e alcançou 1/3 de sua meta. Quantos quilômetros Carolina planejou caminhar? (A) 5. (B) 7. (C) 10. (D) 15. (E) 20. Solução Passo a Passo Para resolver essa questão de forma clara, o grande segredo é traduzir o texto do problema para
Para provar esta desigualdade, utilizaremos o Princípio da Indução Matemática. 1. Base da Indução (\(n=4\)): Primeiro, verificamos se a proposição é verdadeira para o menor valor possível, que neste caso é \(n = 4\). 2. Hipótese de Indução: Supomos que a desigualdade seja válida para um determinado número natural \(k\) (com \(k \ge 4\)). Ou
Para provar essa igualdade, utilizamos o método de Indução Matemática: 1. Base da Indução (\(n=1\)): Substituímos \(n=1\) em ambos os lados da equação: 2. Hipótese de Indução: Supomos que a fórmula seja válida para um número natural \(k\): $$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$$ 3. Passo Indutivo: Devemos
Passo a Passo da Prova Tomemos por \(S_n\) o primeiro membro da desigualdade. i) Para \(n=2\), temos \(S_2=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2+2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=\frac{14}{24}\) Como \(\frac{14}{24}>\frac{13}{24}\), a proposição é verdadeira para \(n=2\). ii) Suponhamos que \(S_n\) seja verdadeira para algum \(n\in\mathbb{N}\). Assim, devemos mostrar que é verdadeira, também, para \(S_{n+1}\). De fato, $$S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$$ e $$S_{n+1}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$$ Ao compararmos \(S_n\) e \(S_{n+1}\), vemos
Como a proposição se mantém verdadeira para o passo \(n+1\), ela é válida para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Seja \((a_1, a_2, a_3, \dots)\) uma progressão geométrica. (a) Mostre que se \(m + n = r + s\) então \(a_m \cdot a_n = a_r \cdot a_s\). (b) Suponha que a progressão geométrica \((a_n)\) é uma sequência crescente de números reais positivos e que \(a_1 \cdot a_5 = 7\) e \(a_2 + a_4 = 8\).
Determine (a) o resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23. (b) o algarismo das unidades do número \(17^{509} + 19^{905}\). Solução (a) O resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23 Para resolver este item de forma eficiente, aplicamos o Pequeno Teorema de Fermat.
Questão 03 (a) Se \(y = x + \frac{1}{x}\), mostre que \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2\). (b) Considere a função real polinomial \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a\), em que \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\). Transforme \(\frac{p(x)}{x^2}\) em uma função polinomial de grau 2
Considere o conjunto \(C\) de todos os números de \(3\) algarismos distintos que podem ser formados utilizando-se apenas os algarismos \(1, 2, 3, 5\) e \(8\). (a) Quantos elementos de \(C\) são menores do que \(800\)? (b) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(55\)? (c) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(12\)? Solução
Questão 02 (a) Determine a soma, em função de \(n\), dos divisores positivos de \(3^n\), com \(n\) inteiro positivo. (b) Determine a soma, em função de \(m\) e \(n\), dos divisores positivos de \(2^m \cdot 3^n\), com \(m\) e \(n\) inteiros positivos. Solução Item (a) Considere o número \(3^n\), onde $n$ é um inteiro positivo.