Um retângulo tem \(60\text{ cm}^2\) de área e sua diagonal mede \(13\text{ cm}\). Qual o perímetro, em centímetros, desse retângulo?
(A) 34.
(B) 32.
(C) 35.
(D) \(7\sqrt{34}\).
(E) \(9\sqrt{17}\).
Solução Passo a Passo
Para resolver essa questão de forma eficiente, vamos modelar o problema algebricamente e usar uma técnica clássica envolvendo produtos notáveis.
Definindo as variáveis e os dados do problema
Vamos chamar as medidas dos lados do retângulo de \(a\) (base) e \(b\) (altura).
O problema nos fornece duas informações cruciais:
- Área: A área de um retângulo é dada pelo produto de seus lados. Logo:$$a \cdot b = 60$$
- Diagonal: A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, onde a diagonal é a hipotenusa e os lados \(a\) e \(b\) são os catetos. Aplicando o Teorema de Pitágoras (\(h^2 = c_1^2 + c_2^2\)), temos:$$a^2 + b^2 = 13^2$$$$a^2 + b^2 = 169$$
O que o problema pede?
A questão quer saber o perímetro do retângulo. O perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, \(a + a + b + b\).
- Perímetro \(= 2a + 2b = 2(a + b)\)
Nosso objetivo principal agora é descobrir o valor da soma \((a + b)\).
O “Pulo do Gato” (Usando Produtos Notáveis)
Nós poderíamos tentar isolar uma variável na equação da área (como \(a = \frac{60}{b}\)) e substituir na equação do Teorema de Pitágoras. Porém, isso nos levaria a uma equação do 4º grau (biquadrada), o que daria muito trabalho.
A forma mais elegante e rápida é lembrar do produto notável do Quadrado da Soma:
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Reorganizando os termos dessa fórmula, perceba que ela contém exatamente as expressões que já conhecemos:
$$(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2(ab)$$
Substituindo os valores conhecidos
Agora, basta substituir os valores de \((a^2 + b^2)\) e de $(ab)$ que encontramos no passo 1:
- \(a^2 + b^2 = 169\)
- \(a \cdot b = 60\)
Substituindo na fórmula do produto notável:
$$(a + b)^2 = 169 + 2 \cdot (60)$$
$$(a + b)^2 = 169 + 120$$
$$(a + b)^2 = 289$$
Encontrando a soma dos lados
Para encontrar o valor de \((a + b)\), passamos a potência como raiz quadrada para o outro lado:
$$a + b = \sqrt{289}$$
$$a + b = 17$$
(Consideramos apenas o valor positivo da raiz porque \(a\) e \(b\) representam medidas de comprimento, que não podem ser negativas).
Calculando o perímetro final
Como vimos no Passo 2, o perímetro é igual a $v2(a + b)$. Como agora sabemos que \(a + b = 17\), basta multiplicar por 2:
$$\text{Perímetro} = 2 \cdot 17$$
$$\text{Perímetro} = 34\text{ cm}$$
Com isso,
O perímetro do retângulo é 34 cm.
Gabarito: Letra (A).