2) A parábola \(y = ax^2 + bx + c\) passa pelo ponto \((2, 6)\). Sabendo que \(2\) é a ordenada do ponto onde a parábola corta o eixo vertical, qual o valor de \(2a + b + c\)?
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5.
(E) 6.
Solução Passo a Passo
Para resolver essa questão, precisamos extrair as informações dadas no enunciado e traduzi-las para equações matemáticas usando a lei de formação da função quadrática, \(y = ax^2 + bx + c\).
O enunciado afirma que a parábola corta o eixo vertical (eixo \(y\)) no ponto de ordenada igual a \(2\).
- Sempre que um gráfico corta o eixo vertical, a sua abscissa (o valor de \(x\)) é igual a \(0\).
- Portanto, a parábola passa pelo ponto \((0, 2)\).
- Substituindo \(x = 0\) e \(y = 2\) na equação da parábola:$$2 = a(0)^2 + b(0) + c$$$$c = 2$$
- Dica de ouro: Em qualquer função polinomial do 2º grau, o coeficiente \(c\) sempre representa o ponto exato onde a parábola intercepta o eixo \(y\).
O problema também informa que a parábola passa pelo ponto \((2, 6)\). Isso significa que quando \(x = 2\), o valor de \(y\) deve ser \(6\).
- Substituindo \(x = 2\) e \(y = 6\) na equação original:$$6 = a(2)^2 + b(2) + c$$$$6 = 4a + 2b + c$$
Como já descobrimos no primeiro passo que \(c = 2\), podemos substituir esse valor na equação que acabamos de montar:
$$4a + 2b + 2 = 6$$
Agora, vamos isolar as variáveis \(a\) e \(b\) de um lado da igualdade, passando o \(2\) para o outro lado subtraindo:
$$4a + 2b = 6 – 2$$
$$4a + 2b = 4$$
A questão não pede os valores isolados de \(a\) e \(b\), mas sim o valor da expressão \(2a + b + c\).
Observe a equação que encontramos: \(4a + 2b = 4\). Se dividirmos todos os termos dessa equação por \(2\), obteremos exatamente a primeira parte da expressão que procuramos:
$$\frac{4a}{2} + \frac{2b}{2} = \frac{4}{2}$$
$$2a + b = 2$$
Agora temos tudo o que precisamos. A expressão desejada é:
$$2a + b + c$$
Podemos separar essa expressão em duas partes que já conhecemos: o bloco \((2a + b)\) e o valor de \(c\).
- Sabemos que \(2a + b = 2\)
- Sabemos que \(c = 2\)
Substituindo esses valores:
$$2 + 2 = 4$$
O valor da expressão \(2a + b + c\) é 4.
Gabarito: Letra (C).