Quantos elementos possui o conjunto \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 + 6x – 16 < 0\}\)?
(A) 7.
(B) 8.
(C) 9.
(D) 10.
(E) 11.
Solução Passo a Passo
Para resolver essa questão de forma pedagógica, precisamos dividir o problema em três etapas principais: interpretar a condição do conjunto, resolver a inequação e, por fim, contar os elementos.
1. Compreendendo a definição do conjunto
O problema nos apresenta o conjunto \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 + 6x – 16 < 0\}\).
A primeira parte, \(x \in \mathbb{Z}\), nos diz uma informação crucial: estamos buscando apenas números inteiros (negativos, positivos e o zero). Não podemos considerar números decimais ou frações na nossa resposta final.
2. Encontrando as raízes da equação
A condição para que um número pertença ao conjunto \(A\) é satisfazer a inequação \(x^2 + 6x – 16 < 0\). Para resolver isso, o primeiro passo é encontrar as raízes da equação do 2º grau associada (ou seja, quando ela é igual a zero):
$$x^2 + 6x – 16 = 0$$
Podemos resolver isso rapidamente pelo método da Soma e Produto:
- Soma das raízes (\(-b/a\)): \(-6\)
- Produto das raízes (\(c/a\)): \(-16\)
Quais são os dois números que, somados, dão \(-6\) e, multiplicados, dão \(-16\)?
Esses números são \(-8\) e \(2\).
(Obs: Você também chegaria aos mesmos valores aplicando a fórmula de Bhaskara).
Isso nos permite fatorar a expressão original, reescrevendo-a como:
$$(x – 2)(x + 8) < 0$$
3. Analisando o sinal da parábola (A Inequação)
A expressão \(x^2 + 6x – 16\) representa uma parábola. Como o coeficiente que acompanha o \(x^2\) é positivo (\(a = 1\)), essa parábola tem a concavidade voltada para cima (em formato de “U”).
A parábola cruza o eixo \(x\) exatamente nas raízes que encontramos: no \(-8\) e no \(2\).
Como a inequação pede os valores menores que zero (\(< 0\)), queremos a parte da parábola que fica “abaixo” do eixo \(x\). Observando o gráfico imaginário, essa parte negativa ocorre exatamente no intervalo entre as duas raízes.
Portanto, o intervalo que satisfaz a inequação é:
$$-8 < x < 2$$
4. Contando os elementos inteiros
Agora, voltamos à primeira condição do problema: o valor de \(x\) precisa ser um número inteiro (\(x \in \mathbb{Z}\)).
Atenção aos sinais de menor (\(<\)): como não há sinal de igual (\(\le\)), os extremos \(-8\) e \(2\) não entram na contagem.
Quais são os números inteiros estritamente maiores que \(-8\) e menores que $2$? Vamos listá-los:
$$\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$$
Basta contar a quantidade de números nessa lista:
Temos exatamente 9 números inteiros.
Conclusão:
O conjunto \(A\) possui 9 elementos.
Gabarito: Letra (C).