Dando sequência à nossa cobertura completa com a solução da prova do ENA 2027, chegamos à Questão 06, que é uma continuação direta do problema anterior sobre o triângulo de Sierpinski. Este é um excelente exercício de geometria plana focado em razão de áreas e semelhança de triângulos.
Se você está buscando o gabarito comentado para o PROFMAT, confira o passo a passo detalhado abaixo.
Enunciado da Questão 06 – ENA 2027
06. A região sombreada da figura da questão anterior é formada pela união do triângulo central da primeira etapa com os três triângulos invertidos menores obtidos na segunda etapa. A razão entre a área da região sombreada e a área do triângulo principal, de lado \(\ell\), é igual a:
(A) \(1/4\) (B) \(5/16\) (C) \(7/16\) (D) \(9/16\) (E) \(11/16\)
Resolução Passo a Passo
Para encontrar a razão solicitada, precisamos calcular a proporção que cada triângulo sombreado representa em relação à área total do triângulo principal. Vamos dividir o cálculo em duas partes, conforme o gabarito oficial.
Passo 1: Área do triângulo central (1ª etapa)
Quando ligamos os pontos médios dos lados de um triângulo, o dividimos em 4 triângulos menores de áreas iguais.
- O triângulo central da primeira etapa possui lado igual a \(\ell/2\).
- Como a razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança \((1/2)^2\), a área desse triângulo central equivale a \(1/4\) da área do triângulo principal.
Passo 2: Área dos três triângulos menores (2ª etapa)
Agora, vamos analisar os três triângulos dos cantos da primeira etapa.
- Cada um desses 3 triângulos de canto também possui área igual a \(1/4\) da área principal.
- Dentro de cada um deles, o procedimento se repete: o triângulo invertido da segunda etapa representa \(1/4\) da área do triângulo do canto.
- Portanto, a área de apenas um desses triângulos menores invertidos, em relação ao triângulo principal, é: \(1/4 \cdot 1/4 = 1/16\).
- Como a figura possui 3 desses triângulos menores sombreados, a área conjunta deles é: \(3 \times 1/16 = \mathbf{3/16}\) da área principal.
Passo 3: Soma das áreas sombreadas
Para encontrar a área sombreada total, basta somar a área do triângulo central com a área dos três triângulos menores:
- Área Total Sombreada = \(1/4 + 3/16\)
- Igualando os denominadores (multiplicando o primeiro termo por 4/4): \(\frac{4}{16} + \frac{3}{16} = \mathbf{\frac{7}{16}}\)