Para você que está revisando o conteúdo para o PROFMAT, apresentamos mais um artigo da nossa série detalhada com a solução da prova do ENA 2027. A Questão 07 aborda um dos temas mais tradicionais da matemática no ensino médio: a Progressão Aritmética (PA).
Este problema testa o conhecimento sobre o termo geral da PA e a manipulação da razão. Acompanhe a transcrição e a resolução completa abaixo.
Enunciado da Questão 07 – ENA 2027
07. Em uma progressão aritmética de 2001 termos, o primeiro e o último termos são 17 e 4043, respectivamente. O milésimo primeiro termo dessa progressão é igual a
(A) 1940. (B) 1960. (C) 2010. (D) 2030. (E) 2050.
Resolução Passo a Passo
O problema fornece as seguintes informações essenciais sobre a PA:
- O número total de termos é \(n = 2001\).
- O primeiro termo é \(a_1 = 17\).
- O último termo (que é o termo de posição 2001) é \(a_{2001} = 4043\).
- O objetivo é encontrar o milésimo primeiro termo, ou seja, o \(a_{1001}\).
De acordo com o gabarito oficial, a resolução é feita em duas etapas:
Passo 1: Encontrar a razão (\(r\)) da PA
Utilizamos a fórmula do termo geral da PA (\(a_n = a_1 + (n-1)r\)) para isolar e descobrir a razão. A solução oficial demonstra o cálculo direto:
- \(r = \frac{a_{2001} – a_1}{2001 – 1}\)
- \(r = \frac{4043 – 17}{2001 – 1}\)
- \(r = \frac{4026}{2000}\)
- \(r = 2,013\)
A razão da progressão é \(2,013\).
Passo 2: Calcular o termo \(a_{1001}\)
Com a razão em mãos, aplicamos novamente a fórmula do termo geral para encontrar o termo na posição 1001:
- \(a_{1001} = a_1 + 1000r\)
- Substituindo os valores encontrados: \(a_{1001} = 17 + 1000(2,013)\)
- \(a_{1001} = 17 + 2013\)
- \(a_{1001} = 2030\)
Dica Avançada para Ganhar Tempo: Você poderia resolver esta questão em segundos usando a propriedade do termo central da PA. Em uma PA com um número ímpar de termos (2001 termos), o termo do meio é exatamente a média aritmética entre o primeiro e o último termo. O termo central de 2001 termos é o \(1001º\) termo. Assim, bastava fazer: \((17 + 4043) / 2 = 4060 / 2 = 2030\). Fique atento a esses atalhos estruturais na prova do PROFMAT!