Continuando nossa série com a solução da prova do ENA 2027, vamos analisar a Questão 04. Este problema exige o domínio de álgebra básica, especificamente na manipulação de equações do primeiro grau com parâmetros.
Se você está estudando para o PROFMAT e procura o passo a passo detalhado para entender como igualar soluções de equações, acompanhe a resolução abaixo!
Enunciado da Questão 04 – ENA 2027
04. O valor de \(k\) para que as equações do primeiro grau em \(x\) dadas por \(2x + 3k – 5 = 0\) e \(7x – 13k + 9 = 0\) tenham a mesma solução é igual a
(A) \(39/41\)
(B) \(53/47\)
(C) \(63/71\)
(D) \(53/49\)
(E) \(73/91\)
Resolução Passo a Passo
O problema afirma que as duas equações possuem a mesma solução para a variável \(x\). Isso significa que, se isolarmos o \(x\) em ambas as equações, os resultados encontrados devem ser estritamente iguais. Vamos fazer isso passo a passo, conforme o gabarito oficial.
Passo 1: Isolar o $x$ na primeira equação
Temos a primeira equação: \(2x + 3k – 5 = 0\). Vamos isolar o termo com \(x\) de um lado da igualdade: \(2x = 5 – 3k\) Passando o 2 dividindo, obtemos: \(x = \frac{5 – 3k}{2}\)
Passo 2: Isolar o \(x\) na segunda equação
Agora, pegamos a segunda equação: \(7x – 13k + 9 = 0\). Isolando o termo com \(x\): \(7x = 13k – 9\) Passando o 7 dividindo, obtemos: \(x = \frac{13k – 9}{7}\)
Passo 3: Igualar as soluções
Como o enunciado garante que as equações têm a mesma solução, os dois valores de \(x\) que encontramos devem ser iguais. Portanto: \(\frac{5 – 3k}{2} = \frac{13k – 9}{7}\)
Passo 4: Resolver a equação para encontrar \(k\)
Para resolver essa proporção, multiplicamos cruzado:
\(7 \cdot (5 – 3k) = 2 \cdot (13k – 9)\)
Aplicando a propriedade distributiva:
\(35 – 21k = 26k – 18\)
Agora, agrupamos os termos com \(k\) de um lado e os números do outro. Passando o \(-21k\) para a direita (somando) e o \(-18\) para a esquerda (somando):
\(35 + 18 = 26k + 21k\)
\(53 = 47k\)
Isolando finalmente o \(k\):
\(k = \frac{53}{47}\)