Sabendo que a tangente de um ângulo agudo \(\alpha\) é igual a \(2\), qual o valor de \((\text{sen }\alpha + \cos\alpha)^2\)?
(A) \(\frac{3}{5}\)
(B) \(\frac{4}{5}\)
(C) \(\frac{7}{5}\)
(D) \(\frac{8}{5}\)
(E) \(\frac{9}{5}\)
Usaremos dois métodos para resolver está questão.
Método 1: Usando Identidades Trigonométricas (Resolução Algébrica)
Este é o método demonstrado no gabarito oficial da prova, porem mais detalhado, ideal para treinar a manipulação de fórmulas trigonométricas.
A Relação Fundamental Secundária
Para encontrar o seno e o cosseno a partir da tangente, podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona a tangente com a secante (ou seja, o inverso do cosseno):
$$1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$
Encontrando o Cosseno
Sabendo pelo enunciado que \(\text{tg}\alpha = 2\), substituímos esse valor na fórmula:
$$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$
$$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$
$$5 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$
Multiplicando cruzado e isolando o cosseno:
$$\cos^2\alpha = \frac{1}{5}$$
Como o problema afirma que \(\alpha\) é um ângulo agudo (está no primeiro quadrante), o seu cosseno é positivo. Extraindo a raiz:
$$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
Encontrando o Seno
Podemos usar a Relação Fundamental da Trigonometria (\(\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)) ou lembrar que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno:
$$\text{tg}\alpha = \frac{\text{sen}\alpha}{\cos\alpha}$$
Substituindo os valores que já temos:
$$2 = \frac{\text{sen}\alpha}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$$
Passando a fração multiplicando:
$$\text{sen}\alpha = 2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$
$$\text{sen}\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$
Calculando a expressão final
O problema pede o valor de \((\text{sen}\alpha + \cos\alpha)^2\). Substituindo os valores encontrados:
$$(\text{sen}\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$$
Como os denominadores são iguais, somamos os numeradores:
$$= \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2$$
Elevando o numerador e o denominador ao quadrado:
$$= \frac{3^2}{(\sqrt{5})^2}$$
$$= \frac{9}{5}$$
Método 2: Usando o Triângulo Retângulo (Dica de Ouro / Pulo do Gato)
Esta é uma excelente alternativa didática e muito mais rápida para resolver provas de múltipla escolha.
Desenhando o Triângulo
A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o Cateto Oposto e o Cateto Adjacente.
Se \(\text{tg}\alpha = 2\), podemos escrever isso como uma fração: \(\text{tg}\alpha = \frac{2}{1}\).
- Cateto Oposto \(= 2\)
- Cateto Adjacente \(= 1\)
Encontrando a Hipotenusa (Teorema de Pitágoras)
$$h^2 = 2^2 + 1^2$$
$$h^2 = 4 + 1$$
$$h^2 = 5$$
$$h = \sqrt{5}$$
Lendo o Seno e o Cosseno direto do triângulo
- \(\text{sen}\alpha = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\)
- \(\cos\alpha = \frac{\text{Cateto Adjacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
Finalizando a questão
Agora basta substituir na expressão solicitada, exatamente como fizemos no passo 4 do método anterior:
$$\left(\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{9}{5}$$
O valor da expressão é 9/5.
Gabarito: Letra (E).