Dando andamento à nossa série com a solução da prova do ENA 2027, analisaremos agora a Questão 08, um problema teórico clássico sobre as propriedades dos números reais, especificamente envolvendo operações com números racionais e irracionais.
Questões de verdadeiro ou falso sobre propriedades numéricas exigem muito cuidado com demonstrações por absurdo e busca por contraexemplos. Confira abaixo o enunciado e a análise detalhada de cada afirmação.
Enunciado da Questão 08 – ENA 2027
08. Considere as afirmações abaixo envolvendo números reais:
I. Se \(x\) e \(y\) são racionais não nulos, então \(x + y\sqrt{2}\) é irracional.
II. Se \(x\) é um número irracional positivo, então \(\sqrt{x}\) é irracional.
III. Se \(\sqrt[4]{x}\) é irracional, então \(\sqrt{x}\) é irracional.
É correto o que se afirma em
(A) II, apenas. (B) III, apenas. (C) I e II, apenas. (D) I e III, apenas. (E) I, II e III.
Resolução Passo a Passo
Para resolver essa questão, vamos analisar cada afirmação separadamente, utilizando demonstrações lógicas e contraexemplos conforme o gabarito oficial.
Análise da Afirmação I
Afirmação: “Se \(x\) e \(y\) são racionais não nulos, então \(x + y\sqrt{2}\) é irracional.” Verdadeira. A justificativa matemática para isso é uma demonstração por contradição (absurdo). Sabemos que \(x, y \in \mathbb{Q}\) (são racionais) e \(y \neq 0\), o que garante que o produto \(y\sqrt{2}\) seja um número irracional. Se supusermos o contrário, ou seja, que a soma \(x + y\sqrt{2}\) fosse um número racional, poderíamos isolar a parte irracional da seguinte forma: \(y\sqrt{2} = (x + y\sqrt{2}) – x\). Como a subtração de dois números racionais resultaria em um número racional, concluiríamos que \(y\sqrt{2}\) é racional, o que é uma contradição. Logo, a soma original tem que ser irracional.
Análise da Afirmação II
Afirmação: “Se \(x\) é um número irracional positivo, então \(\sqrt{x}\) é irracional.” Verdadeira. Novamente, utilizamos a prova por contradição. Vamos supor o oposto: que \(\sqrt{x}\) fosse um número racional. Se \(\sqrt{x}\) fosse racional, ao elevarmos esse número ao quadrado, o resultado também seria racional, ou seja, \(x = (\sqrt{x})^2\) seria racional. Isso contradiz diretamente a premissa do enunciado de que \(x\) é irracional. Portanto, a raiz quadrada de um número irracional positivo deve, obrigatoriamente, ser irracional.
Análise da Afirmação III
Afirmação: “Se \(\sqrt[4]{x}\) é irracional, então \(\sqrt{x}\) é irracional.” Falsa. Para provar que uma afirmação geral é falsa na matemática, basta encontrarmos um único contraexemplo que fure a regra. Vamos testar o valor \(x = 4\):
- A raiz quarta de 4 é \(\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}\), que é um número irracional (satisfaz a primeira parte da frase).
- No entanto, a raiz quadrada de 4 é \(\sqrt{4} = 2\), que é um número racional. Como a premissa ocorreu, mas a conclusão não, a afirmação como regra geral é falsa.
Gabarito Oficial
Como apenas as afirmações I e II são verdadeiras, a alternativa correta é a (C).
Dica de Estudo para o ENA: Em questões que pedem para classificar afirmações sobre conjuntos numéricos, o melhor ataque para provar que algo é “Falso” é buscar exaustivamente um contraexemplo numérico simples. Para provar que algo é “Verdadeiro”, o método da prova por absurdo (assumir o contrário e achar um erro matemático, como feito nas opções I e II) é a ferramenta mais poderosa.