Dando continuidade à nossa série com a solução da prova do ENA 2027, neste artigo vamos analisar detalhadamente a Questão 02. Este é um problema clássico de matemática financeira e funções exponenciais aplicado à demografia, um tema figurinha carimbada no Exame de Acesso ao PROFMAT.
Se você está buscando o Gabarito Comentado ENA 2027, continue lendo para entender a lógica por trás do cálculo de aumentos percentuais sucessivos.
Enunciado da Questão 02 – ENA 2027
02. É estimado que a população de um país cresça 1% ao ano, nos próximos \(n\) anos. Se a população atual é igual a \(P_0\), qual a estimativa para a população daqui a \(n\) anos?
(A) \(1,01^n P_0\)
(B) \((1 + 0,01^n) P_0\)
(C) \((1 + 0,01n) P_0\)
(D) \(0,01^n P_0\)
(E) \(1,1^n P_0\)
Resolução Passo a Passo
O problema descreve uma situação de crescimento acumulado (juros compostos). A principal chave para resolver a questão é entender como representar um aumento percentual na forma de um fator de multiplicação.
De acordo com a solução oficial, o crescimento de 1% ao ano significa que, a cada ano que passa, a população existente é multiplicada por um fator específico. Esse fator multiplicativo é encontrado somando 1 (que representa 100%, ou seja, a população já existente) com a taxa de crescimento dividida por 100:
- Fator de multiplicação = \(1 + \frac{1}{100}\)
- \(1 + \frac{1}{100} = 1 + 0,01 = 1,01\)
Isso indica que, a cada ano, a população sofre uma multiplicação por 1,01. Vamos visualizar o crescimento ano a ano:
- Após 1 ano: A população \(P_1\) será a população inicial (\(P_0\)) multiplicada pelo nosso fator: \(P_1 = P_0 \cdot 1,01\).
- Após 2 anos: A população \(P_2\) será a população do ano anterior (\(P_1\)) multiplicada novamente pelo fator: \(P_2 = P_1 \cdot 1,01\). Como \(P_1 = P_0 \cdot 1,01\), substituindo temos \(P_2 = P_0 \cdot (1,01)^2\).
- Após \(n\) anos: Seguindo a mesma lógica progressiva, a população \(P_n\) será a população inicial multiplicada pelo fator elevado à quantidade de anos decorridos: \(P_n = P_0 \cdot (1,01)^n\).
Sendo assim, concluímos que a estimativa matemática correta para representar a população daqui a \(n\) anos é igual a \(P_0 \cdot (1,01)^n\).