Determine
(a) o resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23.
(b) o algarismo das unidades do número \(17^{509} + 19^{905}\).
Solução
(a) O resto da divisão de \(1^{22} + 2^{22} + \dots + 157^{22}\) por 23
Para resolver este item de forma eficiente, aplicamos o Pequeno Teorema de Fermat. Como 23 é um número primo, o teorema garante que para qualquer número inteiro \(a\) que não seja divisível por 23, vale a seguinte congruência:
$$ a^{22} \equiv 1 \pmod{23}$$
Por outro lado, se \(a\) for um múltiplo de 23, sua potência também será, resultando em:
$$ a^{22} \equiv 0 \pmod{23}$$
Temos uma soma com 157 termos. Precisamos determinar quantos desses números bases (de 1 a 157) são múltiplos de 23 e quantos não são.
Fazendo a divisão inteira de 157 por 23, temos:
$$157 = 23 \times 6 + 19$$
Isso indica que, no intervalo de 1 a 157, existem exatamente 6 múltiplos de 23 (que são 23, 46, 69, 92, 115 e 138). Para estes 6 termos, a potência deixará resto 0.
Para os outros \(157 – 6 = \textbf{151}\) termos restantes, a base não é múltipla de 23. Pelo Pequeno Teorema de Fermat, cada um desses termos elevado à 22ª potência deixará resto 1.
Podemos agora substituir a soma inteira \(S\) pelas suas equivalências em módulo 23:
$$S \equiv 6 \times 0 + 151 \times 1 \pmod{23}$$
$$S \equiv 151 \pmod{23}$$
O problema se resume a encontrar o resto da divisão de 151 por 23. Sabendo que o múltiplo mais próximo é \(23 \times 6 = 138\):
$$151 – 138 = 13$$
Portanto, o resto da divisão é 13.
(b) O algarismo das unidades do número \(17^{509} + 19^{905}\)
Determinar o algarismo das unidades de um número é estritamente equivalente a calcular o valor numérico desse número em módulo 10.
Vamos analisar as duas potências separadamente:
1. Analisando \(17^{509}\):
Sabemos que \(17 \equiv 7 \pmod{10}\), portanto \(17^{509} \equiv 7^{509} \pmod{10}\).
Avaliando o padrão das potências de 7 (ciclo das unidades):
- \(7^1 \equiv 7 \pmod{10}\)
- \(7^2 \equiv 9 \pmod{10}\)
- \(7^3 \equiv 3 \pmod{10}\)
- \(7^4 \equiv 1 \pmod{10}\)
Como \(7^4\) termina em 1, o ciclo se repete a cada 4 potências. Vamos dividir o expoente 509 pelo tamanho do ciclo (4):
$$509 = 4 \times 127 + 1$$
O resto é 1. Isso significa que \(7^{509}\) tem o mesmo algarismo das unidades que \(7^1\).
Logo, \(17^{509} \equiv \textbf{7} \pmod{10}\).
2. Analisando \(19^{905}\):
Sabemos que \(19 \equiv 9 \pmod{10}\). Podemos pensar em potências de 9, ou de forma mais ágil, notar que \(19 \equiv -1 \pmod{10}\).
Usando essa equivalência negativa:
$$19^{905} \equiv (-1)^{905} \pmod{10}$$
Como 905 é um expoente ímpar, \((-1)^{905} = -1\).
E em módulo 10, o valor -1 equivale a 9 (pois \(-1 + 10 = 9\)).
Logo, \(19^{905} \equiv \textbf{9} \pmod{10}\).
(Nota: Pelo ciclo de potências do 9, potências ímpares sempre terminam em 9, e pares em 1. Como 905 é ímpar, confirmamos o final 9).
3. Somando os resultados:
$$17^{509} + 19^{905} \equiv 7 + 9 \pmod{10}$$
$$16 \equiv 6 \pmod{10}$$
Portanto, o algarismo das unidades é 6.