Questão 03
(a) Se \(y = x + \frac{1}{x}\), mostre que \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2\).
(b) Considere a função real polinomial \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a\), em que \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\).
Transforme \(\frac{p(x)}{x^2}\) em uma função polinomial de grau 2 em \(y\), usando a substituição \(y = x + \frac{1}{x}\).
(c) Use a substituição do item anterior para encontrar os zeros de \(p(x) = x^4 – 5x^3 + 8x^2 – 5x + 1\).
Solução
(a) Mostrar que \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2\)
Partimos da equação dada e elevamos ambos os lados ao quadrado:
$$y = x + \frac{1}{x}$$
$$y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$$
Desenvolvendo o produto notável do lado direito:
$$y^2 = x^2 + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) + \left(\frac{1}{x}\right)^2$$
$$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$
Isolando os termos ao quadrado, chegamos ao resultado desejado:
$$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2$$
(b) Transformar \(\frac{p(x)}{x^2}\) em uma função polinomial em \(y\)
Dado o polinômio \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a\), vamos dividi-lo por \(x^2\) (assumindo \(x \neq 0\), o que é válido pois se \(x=0\), \(p(0) = a \neq 0\)):
$$\frac{p(x)}{x^2} = \frac{ax^4}{x^2} + \frac{bx^3}{x^2} + \frac{cx^2}{x^2} + \frac{bx}{x^2} + \frac{a}{x^2}$$
$$\frac{p(x)}{x^2} = ax^2 + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^2}$$
Agora, agrupamos os termos com coeficientes iguais (\(a\) e \(b\)):
$$\frac{p(x)}{x^2} = a\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + b\left(x + \frac{1}{x}\right) + c$$
Fazendo as substituições do item (a), onde \(x + \frac{1}{x} = y\) e \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2\):
$$P(y) = a(y^2 – 2) + by + c$$
$$P(y) = ay^2 – 2a + by + c$$
Reorganizando, obtemos a função polinomial de grau 2 em \(y\):
$$P(y) = ay^2 + by + (c – 2a)$$
(c) Encontrar os zeros de \(p(x) = x^4 – 5x^3 + 8x^2 – 5x + 1\)
Para encontrar os zeros, fazemos \(p(x) = 0\). Como vimos no item anterior, podemos dividir toda a equação por \(x^2\):
$$x^2 – 5x + 8 – \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$
Agrupando os termos:
$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) – 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 8 = 0$$
Substituindo \(x + \frac{1}{x}\) por \(y\) e \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) por \(y^2 – 2\):
$$(y^2 – 2) – 5y + 8 = 0$$
$$y^2 – 5y + 6 = 0$$
Resolvendo esta equação do segundo grau (por soma e produto, por exemplo), encontramos as raízes em \(y\):
$$y_1 = 2 \quad \text{e} \quad y_2 = 3$$
Agora, precisamos voltar para a variável \(x\), resolvendo \(x + \frac{1}{x} = y\) para cada valor de \(y\):
Para \(y = 2\):
$$x + \frac{1}{x} = 2$$
$$x^2 + 1 = 2x$$
$$x^2 – 2x + 1 = 0$$
$$(x – 1)^2 = 0 \Longrightarrow \textbf{x = 1} \text{ (raiz dupla)}$$
Para \(y = 3\):
$$x + \frac{1}{x} = 3$$
$$x^2 + 1 = 3x$$
$$x^2 – 3x + 1 = 0$$
Aplicando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)}$$
$$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 4}}{2} \Longrightarrow \textbf{x = } \frac{\textbf{3} \pm \sqrt{\textbf{5}}}{\textbf{2}}$$
Portanto, o conjunto solução com os zeros do polinômio é:
$$S = \left\{1, \frac{3 – \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right\}$$