Considere o conjunto \(C\) de todos os números de \(3\) algarismos distintos que podem ser formados utilizando-se apenas os algarismos \(1, 2, 3, 5\) e \(8\).
(a) Quantos elementos de \(C\) são menores do que \(800\)?
(b) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(55\)?
(c) Quais elementos de \(C\) são múltiplos de \(12\)?
Solução
(a) Menores do que 800
Para ser menor que 800, o primeiro algarismo (centena) não pode ser o 8.
- Centena: 4 opções (1, 2, 3 ou 5).
- Dezena: 4 opções (qualquer um dos restantes).
- Unidade: 3 opções (os que sobraram).
Cálculo: \(4 \times 4 \times 3 = \textbf{48}\) elementos.
(b) Múltiplos de 55
O número precisa ser múltiplo de 5 e de 11 ao mesmo tempo.
- Critério do 5: Deve terminar em 5 (já que não temos o 0). Formato: \(c \, d \, 5\).
- Critério do 11: Alternar sinais dos algarismos \((c – d + 5)\) deve resultar em \(0\) ou \(11\).
- Se for \(0\): \(c + 5 = d \implies c = 3\) e \(d = 8\). (Número: 385)
- Se for \(11\): \(c + 5 – d = 11 \implies c – d = 6 \implies c = 8\) e \(d = 2\). (Número: 825)
Resposta: 385 e 825.
(c) Múltiplos de 12
O número precisa ser múltiplo de 4 e de 3 ao mesmo tempo.
- Critério do 4: Os dois últimos algarismos devem formar um múltiplo de 4. Usando nosso conjunto, as únicas terminações possíveis são: 12, 32, 52 e 28.
- Critério do 3: A soma dos três algarismos deve estar na tabuada do 3. Vamos achar a centena para cada terminação:
- Final 12 (soma \(1+2=3\)): O algarismo que falta para a soma continuar múltipla de 3 é o 3. (Número: 312)
- Final 32 (soma \(3+2=5\)): Faltam 1 para a soma dar 6. (Número: 132)
- Final 52 (soma \(5+2=7\)): Faltam 8 para a soma dar 15. (Número: 852)
- Final 28 (soma \(2+8=10\)): Faltam 5 para a soma dar 15. (Número: 528)
Resposta: 132, 312, 528 e 852.