Determine um número inteiro entre \(1200\) e \(1400\) que deixa restos \(2\) e \(6\) quando dividido, respectivamente, por \(11\) e \(13\).
Solução:
Queremos determinar uma solução inteira \(x\), \(1200<x<1400\),do seguinte sistema de congruencias:
$$
\begin{cases}
x \equiv 2 \pmod{11} \\
x \equiv 6 \pmod{13}
\end{cases}
$$
Como \((11,13)=1\), podemos aplicar o Teorema Chinês dos Restos.
Considere \(M = 11\cdot 13 = 143\), \(M_1 = 13\) e \(M_2 = 11\).
A solução geral é dada por \(x = M_1y_1c_1 + M_2y_2c_2 + 143t, \quad t \in \mathbb{Z}, \) onde \(c_1 = 2\), \(c_2 = 6\) e \(y_1, y_2\) são soluções das congruências: \(M_1y_1 \equiv 1 \pmod{11}, \quad M_2y_2 \equiv 1 \pmod{13}. \)
Temos que:
$$
13y_1 \equiv 1 \pmod{11} \iff 2y_1 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow y_1 = 6,
$$ $$
11y_2 \equiv 1 \pmod{13} \iff -2y_2 \equiv 1 \pmod{13} \Rightarrow y_2 = 6.
$$
com soluções \(y_1 = 6\) e \(y_2 = 6\).
Logo,
$$
X = 13\cdot6\cdot2 + 11\cdot6\cdot6 + 143t = 552 + 143t.
$$
Procuramos uma solução \(x\) tal que \(1200 < x < 1400\).
Assim, \(t=5\) e \(x = 1267\).