Dizemos que dois polinômios \(p(X)\) e \(q(X)\) são tangentes para \(X = r\) quando a diferença \(p(X) – q(X)\) é divisível por \((X – r)^2\).
(a) Mostre que \(p(X) = aX^2 + bX + c\) e \(q(X) = (2ar + b)X + (c – ar^2)\) são tangentes para \(X = r\).
(b) Seja \(p(X) = a_n X^n + \dots + a_2 X^2 + a_1 X + a_0\), em que \(n \ge 2\) e \(a_1 \ne 0\). Encontre o polinômio de grau 1 que é tangente a \(p(X)\) para \(X = 0\).
Solução
Item a)
Objetivo: Mostrar que a parábola \(p(X) = aX^2 + bX + c\) e a reta \(q(X) = (2ar + b)X + (c – ar^2)\) são tangentes no ponto \(X = r\).
Montar a diferença \(p(X) – q(X)\)
Substituímos as expressões dadas para os polinômios:
$$p(X) – q(X) = (aX^2 + bX + c) – \left[ (2ar + b)X + (c – ar^2) \right]$$
Eliminar os parênteses (Propriedade Distributiva)
O sinal de menos na frente de \(q(X)\) inverte o sinal de todos os termos dentro do colchete:
$$p(X) – q(X) = aX^2 + bX + c – (2ar + b)X – (c – ar^2)$$
Distribuir o \(X\) e o sinal
Vamos expandir o termo \(-(2ar + b)X\) e o termo \(-(c – ar^2)\):
$$p(X) – q(X) = aX^2 + bX + c – 2arX – bX – c + ar^2$$
Agrupar termos semelhantes (Propriedade Comutativa e Associativa)
Vamos reorganizar os termos para facilitar o cancelamento:
- Termos com \(X^2\): apenas \(aX^2\).
- Termos com \(X\): temos \(+bX\) e \(-bX\) (que se cancelam), e \(-2arX\).
- Termos constantes: temos \(+c\) e \(-c\) (que se cancelam), e \(+ar^2\).
Reescrevendo:
$$p(X) – q(X) = aX^2 + \underbrace{(bX – bX)}_{0} + \underbrace{(c – c)}_{0} – 2arX + ar^2$$
O que sobra é:
$$p(X) – q(X) = aX^2 – 2arX + ar^2$$
Fatorar a expressão
Observe que todos os termos possuem o coeficiente $a$. Vamos colocá-lo em evidência:
$$p(X) – q(X) = a(X^2 – 2rX + r^2)$$
O termo dentro dos parênteses, \(X^2 – 2rX + r^2\), é um Trinômio Quadrado Perfeito. Ele é o resultado da expansão de \((X – r)^2\). Logo:
$$p(X) – q(X) = a(X – r)^2$$
Como a diferença \(p(X) – q(X)\) resulta em \(a \cdot (X-r)^2\), é evidente que essa expressão é divisível por \((X-r)^2\) (o resultado da divisão é simplesmente a constante \(a\), com resto zero). Portanto, por definição, eles são tangentes.
Item (b)
Objetivo: Encontrar o polinômio de grau 1 (\(q(X) = mX + n\)) que é tangente a \(p(X)\) em \(X = 0\).
Nota Teórica: A definição diz “tangentes para \(X=r\)”. Aqui, \(r=0\). Logo, a condição de tangência é que \(p(X) – q(X)\) seja divisível por \((X – 0)^2\), ou seja, divisível por \(X^2\).
Definir os polinômios
- \(p(X) = a_n X^n + \dots + a_2 X^2 + a_1 X + a_0\) (Polinômio genérico de grau \(n \ge 2\)).
- \(q(X) = mX + n\) (Polinômio genérico de grau 1, onde queremos achar \(m\) e \(n\)).
Montar a diferença
$$p(X) – q(X) = (a_n X^n + \dots + a_2 X^2 + a_1 X + a_0) – (mX + n)$$
Agrupar termos semelhantes
Vamos agrupar os termos que têm grau maior ou igual a 2 separadamente dos termos de grau 1 e 0.
- Parte de grau alto (\(X^n\) até \(X^2\)): mantém-se inalterada.
- Parte de grau 1: temos \(a_1 X\) e \(-mX\).
- Parte constante: temos \(a_0\) e \(-n\).
$$p(X) – q(X) = (a_n X^n + \dots + a_2 X^2) + (a_1 X – mX) + (a_0 – n)$$
Colocando \(X\) em evidência no termo linear:
$$p(X) – q(X) = (a_n X^n + \dots + a_2 X^2) + (a_1 – m)X + (a_0 – n)$$
Analisar a divisibilidade por \(X^2\)
Para facilitar a visualização, vamos colocar \(X^2\) em evidência na primeira parte da expressão (os termos de grau alto):
$$p(X) – q(X) = X^2 \cdot \underbrace{(a_n X^{n-2} + \dots + a_2)}_{\text{Quociente}} + \underbrace{(a_1 – m)X + (a_0 – n)}_{\text{Resto}}$$
Na divisão euclidiana por \(X^2\), o “Resto” deve ter grau menor que 2 (ou seja, grau 1 ou 0). A expressão \((a_1 – m)X + (a_0 – n)\) já está nesse formato.
Aplicar a condição de tangência
Para que a divisão seja exata (divisível por \(X^2\)), o Resto deve ser identicamente nulo (igual a zero para qualquer \(X\)).
$$Resto(X) = (a_1 – m)X + (a_0 – n) \equiv 0$$
Para um polinômio ser identicamente nulo, todos os seus coeficientes devem ser zero. Isso gera um sistema de duas equações:
- Coeficiente de \(X\): \(a_1 – m = 0 \implies m = a_1\)
- Termo constante: \(a_0 – n = 0 \implies n = a_0\)
Conclusão:
Substituindo \(m\) e \(n\) encontrados na expressão de \(q(X)\):
$$q(X) = a_1 X + a_0$$