Para cada sentença abaixo, diga se ela é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
\((a)\) Existe um número real \(x\) tal que \(5x + 7 < 2 – x < 7x + 8\).
\((b)\) Se \(x\) é um número real tal que \(x > 3\), então
$$
\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 – 4x + 3} > 0 .
$$
\((c)\) Para todo número real \(x\), tem-se que \(x < 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 < 1\).
Solução detalhada e comentada
\((a)\) Análise completa da desigualdade composta}
Temos a desigualdade composta
$$
5x + 7 < 2 – x < 7x + 8.
$$
Por definição, uma desigualdade composta \(A < B < C\) é equivalente ao sistema das duas desigualdades simultâneas:
\begin{cases}
5x + 7 < 2 – x,\\
2 – x < 7x + 8.
\end{cases}
Iremos resolver cada uma separadamente e depois verificar se existe interseção entre as soluções.
Primeira desigualdade:
$$ 5x + 7 < 2 – x$$
Agrupando termos em \(x\) no lado esquerdo:
$$5x + x < 2 – 7 \quad\Longrightarrow\quad 6x < -5$$
Dividindo por \(6>0\):
$$
x < -\frac{5}{6}.
$$
Segunda desigualdade:
$$
2-x < 7x + 8.
$$
Colocando os termos em \(x\) do mesmo lado:
$$ -x-7x < 8-2 \quad\Longrightarrow\quad -8x < 6$$.
Dividindo por \(-8\) e invertendo o sentido (pois dividimos por um número negativo):
$$ x > -\frac{3}{4}.$$
Agora juntamos as duas condições necessárias para que a desigualdade composta seja verdadeira:
$$
x < -\frac{5}{6} \qquad\text{e}\qquad x > -\frac{3}{4}.
$$
Observe que numericamente
$$
-\frac{5}{6} = -0.833\ldots \quad\text{e}\quad -\frac{3}{4} = -0.75,
$$
portanto \(-\frac{5}{6} < -\frac{3}{4}\). Isso significa que a condição \(x\) menor que \(-5/6\) e \(x\) maior que \(-3/4\)” não podem ser satisfeitas simultaneamente por nenhum real \(x\). O intervalo pedido seria
$$ {x: x < -\frac{5}{6}}\cap{x: x > -\frac{3}{4}} = \text{Ø} $$.
Conclusão (a): Não existe \(x\in\mathbb{R}\) que satisfaça as duas desigualdades simultaneamente; portanto a sentença é \emph{falsa}.
\((b)\) Estudo do sinal da expressão racional para \(x>3\)}
Queremos verificar se, para todo \(x>3\), vale
$$
\frac{x^{2} + 4x + 3}{x^{2} – 4x + 3} > 0.
$$
Passo 1: fatorar numerador e denominador onde possível.
O numerador fatoriza:
$$
x^{2} + 4x + 3 = (x+1)(x+3).
$$
O denominador também fatoriza:
$$
x^{2} – 4x + 3 = (x-1)(x-3).
$$
Passo 2: analisar sinais dos fatores para \(x>3\).
Se \(x>3\), então cada fator tem o seguinte sinal:
- \(x+1>0\) (pois \(x>3\)),
- \(x+3>0\),
- \(x-1>0\),
- \(x-3>0\).
Logo, tanto o numerador \((x+1)(x+3)\) quanto o denominador \((x-1)(x-3)\) são positivos quando \(x>3\).
Passo 3: conclusão sobre o quociente.
Se numerador e denominador são positivos, o quociente é positivo. Além disso, é importante notar que o denominador não se anula para \(x>3\) (os zeros do denominador são \(x=1\) e \(x=3\), ambos \(\le 3\)), logo a expressão está bem definida para \(x>3\).
Conclusão (b): A sentença é verdadeira: para todo \(x>3\) tem-se
$$
\frac{x^{2} + 4x + 3}{x^{2} – 4x + 3} > 0.
$$
\((c)\) Verificação da implicação lógica \(x<1 \Rightarrow x^{2}<1\)}
A afirmação pede que verifiquemos se para todo real \(x\), a condição \(x<1\) implica \(x^{2}<1\).
Observação: Uma implicação \(P\Rightarrow Q\) é considerada falsa se existe algum exemplo (contraexemplo) em que \(P\) seja verdadeiro e \(Q\) seja falso.
Construção de um contraexemplo: tome \(x=-2\). Então claramente \(x<1\) (pois \(-2<1\)) — logo a hipótese \(P\) é satisfeita. Mas
$$
x^{2} = (-2)^{2} = 4,
$$
e \(4 \not< 1\). Assim \(Q\) é falso para este \(x\).
Conclusão (c): A implicação é falsa — um contraexemplo é \(x=-2\).
Comentário intuitivo: a operação de elevar ao quadrado não preserva a ordem quando se permitem números negativos: valores \(x<1\) incluem números muito negativos cujo quadrado é grande e, portanto, maior do que \(1\). Assim a implicação proposta não pode ser verdadeira para todos os reais.
Resumo final
- \((a) \quad \textbf{Falsa}\). A desigualdade composta é equivalente ao sistema \(x<-\frac{5}{6}\) e \(x>-\frac{3}{4}\), que tem interseção vazia.
- \((b) \quad \textbf{Verdadeira}\). Para \(x>3\) ambos numerador e denominador são positivos, logo a fração é positiva.
- \((c) \quad \textbf{Falsa}\). Exemplo: \(x=-2\) satisfaz \(x<1\) mas \(x^{2}=4\not<1\).