Um corpo está contido num ambiente de temperatura constante. Decorrido o tempo \(t \) (em minutos), seja \(D(t) \) a diferença entre a temperatura do corpo e do ambiente. Segundo a Lei do Resfriamento de Newton, \(D(t) \) é uma função decrescente de $t$, com a propriedade de que um decréscimo relativo
$$\frac{D(t) – D(t+h)}{D(t)}$$
no intervalo de tempo \([t, t+h] \) depende apenas da duração \(h\) desse intervalo (mas não do momento em que essa observação se iniciou). Isto posto, responda à seguinte pergunta:
Num certo dia, a temperatura ambiente era de \(30^\circ\). A água, que fervia a \(100^\circ\) numa panela, cinco minutos depois de apagado o fogo ficou com a temperatura de \(60^\circ\). Qual era a temperatura da água 15 minutos após apagado o fogo?
Solução
Pode-se usar a informação sobre o decréscimo relativo constante de \(D(t)\) diretamente. Temos \(D(0) = 70\) e \(D(5) = 40\). Portanto
$$\frac{D(0) – D(5)}{D(0)} = \frac{70 – 40}{70} = \frac{3}{7}.$$
E, assim, \(D(5) = \frac{4}{7} D(0)\). Pela propriedade mencionada,
$$\frac{D(5) – D(10)}{D(5)} = \frac{D(0) – D(5)}{D(0)} = \frac{3}{7},$$
o que nos conduz a \(D(10) = \frac{4}{7} D(5) = \left(\frac{4}{7}\right)^2 D(0)\). Em seguida, usamos novamente a mesma informação, obtendo
$$\frac{D(10) – D(15)}{D(10)} = \frac{D(0) – D(5)}{D(0)} = \frac{3}{7}.$$
o que nos conduz a \(D(15) = (\frac{3}{7})^3 D(0)\), e o resultado segue.