Para provar esta desigualdade, utilizaremos o Princípio da Indução Matemática.
1. Base da Indução (\(n=4\)):
Primeiro, verificamos se a proposição é verdadeira para o menor valor possível, que neste caso é \(n = 4\).
- Lado esquerdo: \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)
- Lado direito: \(2^4 = 16\) Como \(24 > 16\), a base da indução é verdadeira.
2. Hipótese de Indução:
Supomos que a desigualdade seja válida para um determinado número natural \(k\) (com \(k \ge 4\)). Ou seja, assumimos como verdade que:
$$k! > 2^k$$
3. Passo Indutivo:
Devemos provar que, se a hipótese é verdadeira para \(k\), ela também será verdadeira para o seu sucessor, \(k+1\). Nosso objetivo é chegar na expressão:
$$(k+1)! > 2^{k+1}$$
Vamos construir a prova a partir da definição de fatorial:
- Sabemos que \((k+1)! = (k+1) \cdot k!\)
- Pela nossa Hipótese de Indução, temos que \(k! > 2^k\). Substituindo isso na equação acima, mantemos a desigualdade:$$(k+1)! > (k+1) \cdot 2^k$$
- Agora, precisamos analisar o termo \((k+1)\). Como nossa condição inicial estabelece que \(k \ge 4\), então logicamente \(k+1 \ge 5\). Portanto, é seguro afirmar que \(k+1 > 2\).
- Se substituirmos o termo \((k+1)\) por \(2\) na nossa desigualdade, o valor do lado direito diminui, o que preserva e reforça a relação de “maior que”:$$(k+1)! > (k+1) \cdot 2^k > 2 \cdot 2^k$$
- Pela propriedade das potências (\(2 \cdot 2^k = 2^{k+1}\)), concluímos que:$$(k+1)! > 2^{k+1}$$
Como a propriedade é válida para a base (\(n=4\)) e demonstramos que sua validade para \(k\) implica na validade para \(k+1\), a desigualdade \(n! > 2^n\) está provada para todo número natural \(n \ge 4\).