Passo a Passo da Prova
Tomemos por \(S_n\) o primeiro membro da desigualdade.
i) Para \(n=2\), temos
\(S_2=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2+2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=\frac{14}{24}\)
Como \(\frac{14}{24}>\frac{13}{24}\), a proposição é verdadeira para \(n=2\).
ii) Suponhamos que \(S_n\) seja verdadeira para algum \(n\in\mathbb{N}\). Assim, devemos mostrar que é verdadeira, também, para \(S_{n+1}\).
De fato,
$$S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$$ e $$S_{n+1}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$$
Ao compararmos \(S_n\) e \(S_{n+1}\), vemos que
$$S_{n+1}-S_n = \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}$$
$$S_{n+1}-S_n = \frac{2(n+1)+2n+1-2(2n+1)}{2(n+1)(2n+1)}$$
$$S_{n+1}-S_n = \frac{2(n+1)+2n+1(1-2)}{2(n+1)(2n+1)}$$
$$S_{n+1}-S_n = \frac{2n+2-2n-1}{2(n+1)(2n+1)}$$,
ou seja,
$$S_{n+1}-S_n = \frac{1}{2(n+1)(2n+1)}$$
Como o segundo membro da última desigualdade é positivo, para qualquer \(n\in\mathbb{N}\). Podemos concluir que
\(S_{n+1} > S_n\).
Temos ainda que, \(S_n > \frac{13}{24}\), então \(S_{n+1} > \frac{13}{24}\).
Dessa forma fica demonstrado que \(S_{n+1}\) é verdadeira para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Logo, a proposição é verdadeira para todo \(n\in\mathbb{N}\).