- Seja \(P(n): n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3\) uma expressão divisível por 9, para todo \(n \in \mathbb{N}\).
- Base da Indução: Para \(n=1\), temos \(1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36\). Como \(36 = 9 \times 4\), a proposição é verdadeira para \(n=1\).
- Hipótese de Indução: Suponhamos que \(P(n)\) seja verdadeira para algum \(n\), ou seja, que a soma resulte em \(9k\), onde \(k \in \mathbb{N}\).
- Passo Indutivo: Devemos mostrar que \(P(n+1)\) também é verdadeira.
- Expandindo a soma para \(n+1\): \(P(n+1) = (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3\).
- Ao expandir \((n+3)^3\), obtemos \(n^3 + 9n^2 + 27n + 27\).
- Reorganizando os termos, temos: \([n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3] + 9n^2 + 27n + 27\).
- Pela nossa hipótese, a parte entre colchetes é \(9k\), resultando em \(9k + 9n^2 + 27n + 27\).
- Colocando o 9 em evidência: \(9(k + n^2 + 3n + 3)\).
- Ao definir \(k’ = k + n^2 + 3n + 3\), concluímos que \(P(n+1) = 9k’\).
Como a proposição se mantém verdadeira para o passo \(n+1\), ela é válida para todo \(n \in \mathbb{N}\).