Prove por indução que \(n^3 – n\) é divisível por \(6\) para todo \(n \leq 1\).
Para \(n=1\), temos:
\(1^3 – 1 = 1 – 1 = 0\) Como \(0 = 6 \cdot 0\), então \(0\) é divisível por 6.
A afirmação é verdadeira para \(n=1\).
Suponha que a afirmação seja verdadeira para \(k \leq 1\), ou seja:
$$k^3 – k = 6q$$
para algum inteiro \(q\).
Vamos analizar o caso para \(n=k+1\). Queremos provar que \((k+1)^3 – (k+1)\) é múltiplo de 6.
Desenvolvendo a expressão:
$$= (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) – (k + 1)$$
$$= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 – k – 1$$
Organizando temos:
$$=(k^3 – k) + 3k(k+1)$$
Pela H.I., sabemos que \((k^3 – k) = 6q\). Substituindo:
$$= 6q + 3k(k+1)$$
Note que \(k(k+1)\) é o produto de dois números inteiros consecutivos. Portanto, um deles é necessariamente par.
Logo, \(k(k+1) = 2m\) para algum inteiro \(m\).
Assim:
$$3k(k+1) = 3 \cdot (2m) = 6m$$
Voltando à expressão original:
$$= 6q + 6m = 6(q + m)$$
Como \((q+m)\) é inteiro, a expressão é divisível por 6.
Pelo Princípio da Indução Finita, \(n^3 – n\) é divisível por 6 para todo \(n \leq 1\).