Dando continuidade à nossa série de artigos com a solução da prova do ENA 2027, vamos destrinchar a Questão 09, um excelente problema que mistura geometria plana com porcentagem. Questões que relacionam perímetros e áreas com aumentos ou descontos percentuais são figurinhas carimbadas no PROFMAT.
Se você quer entender o gabarito comentado passo a passo para não errar mais esse tipo de questão, acompanhe a resolução abaixo!
Enunciado da Questão 09 – ENA 2027
09. O perímetro de um retângulo é 20% maior que o perímetro de um quadrado. Sabendo que um dos lados do retângulo é 20% menor que o lado do quadrado, é correto afirmar que a área do retângulo é
(A) igual à área do quadrado.
(B) 28% maior do que a área do quadrado.
(C) 20% menor do que a área do quadrado.
(D) 25% menor do que a área do quadrado.
(E) 30% maior do que a área do quadrado.
Resolução Passo a Passo
Para resolvermos este problema de forma organizada, vamos adotar uma variável para o lado do quadrado e, a partir dela, construir as medidas do retângulo conforme as informações do enunciado.
Passo 1: Definir as medidas do Quadrado
Vamos chamar o comprimento do lado do quadrado de \(\ell\).
- O perímetro do quadrado será \(4\ell\).
- A área do quadrado será \(\ell^2\).
Passo 2: Calcular o perímetro do Retângulo
O enunciado afirma que o perímetro do retângulo é 20% maior que o do quadrado. Um aumento de 20% equivale a multiplicar por um fator de \(1,2\) (ou seja, \(100\% + 20\% = 120\%\)).
- Perímetro do retângulo = \(1,2 \cdot 4\ell = 4,8\ell\).
Passo 3: Encontrar os lados do Retângulo
Sabemos que um dos lados do retângulo é 20% menor que o lado do quadrado. Uma redução de 20% equivale a multiplicar por \(0,8\) (ou seja, \(100\% – 20\% = 80\%\)).
- Um lado do retângulo mede \(0,8\ell\).
O perímetro de um retângulo é a soma do dobro dos seus dois lados distintos. Vamos chamar o outro lado desconhecido de \(b\).
- \(2 \cdot (0,8\ell) + 2b = 4,8\ell\)
- \(1,6\ell + 2b = 4,8\ell\)
- \(2b = 4,8\ell – 1,6\ell\)
- \(2b = 3,2\ell\)
- \(b = 1,6\ell\)
Portanto, as dimensões do retângulo são \(0,8\ell\) e \(1,6\ell\).
Passo 4: Comparar as Áreas
Agora calculamos a área do retângulo multiplicando seus dois lados:
- Área do retângulo = \(0,8\ell \times 1,6\ell = 1,28\ell^2\).
Sabemos que a área do quadrado original é \(\ell^2\). Como a área do retângulo resultou em \(1,28\ell^2\), isso significa que ela representa 128% da área do quadrado. Se a área original era 100% e agora é 128%, houve um aumento de 28%.
Dica de Estudo: Para ganhar tempo em questões com porcentagens genéricas e sem valores fixos, você pode “chutar” um valor conveniente para o lado do quadrado no rascunho. Por exemplo, se o lado do quadrado for 10, seu perímetro é 40 e sua área é 100. O perímetro do retângulo seria 48 e um lado seria 8. O outro lado precisaria ser 16 (pois \(8+8+16+16=48\)). A área do retângulo seria \(8 \times 16 = 128\). Comparando as áreas (128 vs 100), o aumento de 28% fica visível instantaneamente!