Para provar essa igualdade, utilizamos o método de Indução Matemática:
1. Base da Indução (\(n=1\)):
Substituímos \(n=1\) em ambos os lados da equação:
- Lado esquerdo: \(1 \cdot 2 = 2\)
- Lado direito: \(\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2\) Como \(2 = 2\), a base é verdadeira.
2. Hipótese de Indução:
Supomos que a fórmula seja válida para um número natural \(k\):
$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$$
3. Passo Indutivo:
Devemos mostrar que, se é válida para \(k\), então também é para \(k+1\). Ou seja, queremos chegar em:
$$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$
Somamos o próximo termo, \((k+1)(k+2)\), a ambos os lados da nossa hipótese:
$$S_{k+1} = \left[ \frac{k(k+1)(k+2)}{3} \right] + (k+1)(k+2)$$
Colocamos \((k+1)(k+2)\) em evidência:
$$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left( \frac{k}{3} + 1 \right)$$
$$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left( \frac{k+3}{3} \right)$$
$$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$
Como chegamos à fórmula desejada, a proposição está provada para todo \(n \in \mathbb{N}\).