Seja \((a_1, a_2, a_3, \dots)\) uma progressão geométrica.
(a) Mostre que se \(m + n = r + s\) então \(a_m \cdot a_n = a_r \cdot a_s\).
(b) Suponha que a progressão geométrica \((a_n)\) é uma sequência crescente de números reais positivos e que \(a_1 \cdot a_5 = 7\) e \(a_2 + a_4 = 8\). Determine o primeiro termo e a razão.
(c) Generalize o item anterior, isto é, encontre o primeiro termo e a razão para o caso em que \((a_n)\) é uma progressão geométrica crescente de números reais positivos e que \(a_1 \cdot a_5 = k\) e \(a_2 + a_4 = k + 1\), em que \(k > 1\) é um número real.
Solução
Seja \((a_n)\) uma progressão geométrica (PG) de primeiro termo \(a_1\) e razão \(q\). O termo geral é dado por \(a_k = a_1 \cdot q^{k-1}\).
(a) Mostre que se \(m + n = r + s\) então \(a_m \cdot a_n = a_r \cdot a_s\)
Escrevendo os termos \(a_m, a_n, a_r\) e \(a_s\) em função de \(a_1\) e \(q\):
$$a_m = a_1 \cdot q^{m-1}$$
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
$$a_r = a_1 \cdot q^{r-1}$$
$$a_s = a_1 \cdot q^{s-1}$$
Calculando o produto \(a_m \cdot a_n\):
$$a_m \cdot a_n = (a_1 \cdot q^{m-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{n-1}) = a_1^2 \cdot q^{(m-1) + (n-1)} = a_1^2 \cdot q^{m+n-2}$$
Calculando o produto \(a_r \cdot a_s\):
$$a_r \cdot a_s = (a_1 \cdot q^{r-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{s-1}) = a_1^2 \cdot q^{(r-1) + (s-1)} = a_1^2 \cdot q^{r+s-2}$$
Como a hipótese afirma que \(m + n = r + s\), podemos subtrair 2 de ambos os lados para obter \(m + n – 2 = r + s – 2\).
Logo, os expoentes de \(q\) são iguais, o que garante que:
$$a_1^2 \cdot q^{m+n-2} = a_1^2 \cdot q^{r+s-2}$$
$$\textbf{a}_m \cdot \textbf{a}_n = \textbf{a}_r \cdot \textbf{a}_s$$
(Como queríamos demonstrar).
(b) Determine o primeiro termo e a razão
Temos as seguintes informações:
- A PG é crescente e formada por números reais positivos. Isso implica que \(a_1 > 0\) e a razão \(q > 1\).
- \(a_1 \cdot a_5 = 7\)
- \(a_2 + a_4 = 8\)
Pelo resultado demonstrado no item (a), sabemos que como \(1 + 5 = 2 + 4\), então:
$$a_1 \cdot a_5 = a_2 \cdot a_4$$
Portanto, \(a_2 \cdot a_4 = 7\). Agora temos um sistema clássico de soma e produto envolvendo \(a_2\) e \(a_4\):
$$\begin{cases} a_2 + a_4 = 8 \\ a_2 \cdot a_4 = 7 \end{cases}$$
Os números \(a_2\) e \(a_4\) são as raízes da equação do segundo grau \(x^2 – Sx + P = 0\):
$$x^2 – 8x + 7 = 0$$
Cujas raízes, por inspeção (soma 8, produto 7), são \(1\) e \(7\).
Como a PG é estritamente crescente, devemos ter \(a_2 < a_4\). Logo:
$$a_2 = 1 \quad \text{e} \quad a_4 = 7$$
Para encontrar a razão \(q\), usamos a relação \(a_4 = a_2 \cdot q^2\):
$$7 = 1 \cdot q^2 \Longrightarrow q^2 = 7 \Longrightarrow q = \sqrt{7}$$
(Descartamos a raiz negativa \(-\sqrt{7}\) pois sabemos que \(q > 1\)).
Para encontrar o primeiro termo \(a_1\), usamos \(a_2 = a_1 \cdot q\):
$$1 = a_1 \cdot \sqrt{7} \Longrightarrow a_1 = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$$
Resposta (b): O primeiro termo é \(a_1 = \frac{\sqrt{7}}{7}\) e a razão é \(q = \sqrt{7}\).
(c) Generalize o item anterior
Temos as mesmas condições (PG crescente de reais positivos, logo \(q > 1\)), mas com o sistema generalizado (\(k > 1\)):
- \(a_1 \cdot a_5 = k\)
- \(a_2 + a_4 = k + 1\)
Novamente, pelo item (a), \(a_1 \cdot a_5 = a_2 \cdot a_4\), então \(a_2 \cdot a_4 = k\).
Montamos o sistema:
$$\begin{cases} a_2 + a_4 = k + 1 \\ a_2 \cdot a_4 = k \end{cases}$$
Os termos \(a_2\) e \(a_4\) são raízes da equação:
$$x^2 – (k+1)x + k = 0$$
As raízes que satisfazem essa soma e produto são claramente \(k\) e \(1\).
Como a PG é crescente e \(k > 1\), concluímos obrigatoriamente que \(a_2 < a_4\), ou seja:
$$a_2 = 1 \quad \text{e} \quad a_4 = k$$
Calculando a razão \(q\):
$$a_4 = a_2 \cdot q^2 \Longrightarrow k = 1 \cdot q^2 \Longrightarrow q = \sqrt{k}$$
(Apenas a raiz positiva, pois \(q > 1\)).
Calculando o primeiro termo \(a_1\):
$$a_2 = a_1 \cdot q \Longrightarrow 1 = a_1 \cdot \sqrt{k} \Longrightarrow a_1 = \frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k}}{k}$$