Questão 02
(a) Determine a soma, em função de \(n\), dos divisores positivos de \(3^n\), com \(n\) inteiro positivo.
(b) Determine a soma, em função de \(m\) e \(n\), dos divisores positivos de \(2^m \cdot 3^n\), com \(m\) e \(n\) inteiros positivos.
Solução
Item (a)
Considere o número \(3^n\), onde $n$ é um inteiro positivo.
Todo divisor positivo de \(3^n\) deve ser uma potência de \(3\) cujo expoente seja menor ou igual a \(n\). Logo, os divisores positivos de \(3^n\) são:
$$ 1,3,3^2,3^3,…,3^n$$.
Esses números formam uma progressão geométrica, cujo:
- primeiro termo é \(a_1 = 1\),
- razão é \(r = 3\),
- número de termos é \(n+1\) (pois o expoente varia de \(0\) até \(n\)).
A soma de uma progressão geométrica finita é dada por:
$$S= \frac{a_1 (r^{n+1} – 1)}{r – 1}$$.
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, obtemos:
$$\sum_{k=0}^{n} 3^k = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^n = \frac{3^{n+1} – 1}{2}$$.
Portanto, a soma dos divisores positivos de \(3^n\) é:
$$\boxed{\frac{3^{n+1} – 1}{2}}$$.
Item (b)
Seja \(N = 2^m \cdot 3^n\),
com \(m\) e \(n\) inteiros positivos.
Pela decomposição em fatores primos, todo divisor positivo de \(N\) é da forma: $$2^j \cdot 3^k$$
onde os expoentes satisfazem: $$0 \le j \le m \quad \text{e} \quad 0 \le k \le n$$.
Assim, o conjunto dos divisores positivos de \(N\) é formado por todas as combinações possíveis dessas potências de \(2\) e \(3\).
Logo, a soma dos divisores positivos de \(N\) é:
$$\sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^{n} 2^j 3^k$$.
Podemos reorganizar essa soma separando os termos que dependem de \(j\) e os que dependem de \(k\):
$$\sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^{n} 2^j 3^k = \left( \sum_{j=0}^{m} 2^j \right) \left( \sum_{k=0}^{n} 3^k \right)$$.
Cada uma dessas somas é uma progressão geométrica:
- Para as potências de \(2\):
$$ \sum_{j=0}^{m} 2^j = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^m = 2^{m+1} – 1$$
- Para as potências de \(3\):
$$\sum_{k=0}^{n} 3^k = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^n = \frac{3^{n+1} – 1}{2}.$$
Multiplicando os resultados, obtemos:
$$\sum_{d \mid N} d = (2^{m+1} – 1)\cdot \frac{3^{n+1} – 1}{2}$$
Portanto, a soma dos divisores positivos de \(2^m \cdot 3^n\) é:
$$ \boxed{\frac{(2^{m+1} – 1)(3^{n+1} – 1)}{2}}$$.