Uma moeda honesta é lançada sucessivas vezes.
(a) (10 pts) Se a moeda for lançada 4 vezes, qual é a probabilidade de que o número observado de caras seja ímpar? E se a moeda for lançada 5 vezes?
(b) (5 pts) Observando o resultado do item (a), formule uma conjectura sobre a probabilidade de se observar um número ímpar de caras em \(n\) lançamentos da moeda.
(c) (10 pts) Demonstre, utilizando indução finita, a conjectura do item (b).
Solução:
(a) Para quatro lançamentos, \(P(1 \text{ cara}) = P(3 \text{ caras}) = \frac{1}{2^4} C_{4,1} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\). Logo, a probabilidade de um número ímpar de caras é
$$
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
$$
Para cinco lançamentos,
$$
P(1 \text{ cara}) = \frac{1}{2^5} C_{5,1} = \frac{5}{32}, $$
$$ \qquad
P(3 \text{ caras}) = \frac{1}{2^5} C_{5,3} = \frac{10}{32}, $$
$$\qquad
P(5 \text{ caras}) = \frac{1}{2^5} C_{5,5} = \frac{1}{32}.
$$
Logo, para 5 lançamentos a probabilidade de um número ímpar de caras é igual a
$$
\frac{5}{32} + \frac{10}{32} + \frac{1}{32} = \frac{1}{2}.
$$
(b) A conjectura é que para todo \(n\) natural a probabilidade de se obter um número ímpar de caras em \(n\) lançamentos é \(\frac{1}{2}\) (e, automaticamente, a probabilidade de se obter um número par de caras também é igual a \(\frac{1}{2}\)).
(c) Verifiquemos se a conjectura é verdadeira para \(n=1\). A probabilidade de um número ímpar de caras em 1 lançamento é a probabilidade de ocorrer uma cara em 1 lançamento, e isso é exatamente igual a \(\frac{1}{2}\). Portanto a conjectura vale neste caso.
Agora, suponhamos que a conjectura seja verdadeira para \(n\) e vamos verificá-la para \(n+1\).
Um número ímpar de caras em \(n+1\) lançamentos ocorre se:
- temos um número ímpar de caras nos \(n\) primeiros lançamentos e uma coroa no último lançamento, ou
- temos um número par de caras nos \(n\) primeiros lançamentos e uma cara no último lançamento.
Então:
$$
P(\text{nº ímpar de caras em } n+1 \text{ lançamentos}) = \newline = P(\text{nº ímpar de caras em $n$}) \cdot P(\text{coroa}) + \newline +
P(\text{nº par de caras em $n$ lançamentos}) \cdot P(\text{cara}).
$$
temos,
$$
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
$$
Portanto, se a conjectura vale para \(n\), também vale para \(n+1\). Pelo princípio da indução finita, a conjectura é válida para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Obs. O que estamos buscando no item (c) é a soma dos coeficientes \(C_{n,i}\), com \(i\) ímpar, dividida por \(\frac{1}{2^n}\). Se olharmos para a expansão de \(0 = (1-1)^n\), usando o binômio de Newton, veremos que ela é a soma dos coeficientes \(C_{n,i}\) com \(i\) par, subtraída dos coeficientes \(C_{n,i}\) com \(i\) ímpar. Como o resultado é zero, a soma dos coeficientes pares é igual à dos coeficientes ímpares.
Por outro lado, \(1 = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n}(1+1)^n\), e \((1+1)^n\) é a soma de todos os coeficientes \(C_{n,i}\). Assim, a soma dos coeficientes ímpares, dividida por \(\frac{1}{2^n}\), deve ser metade desse valor, isto é, \(\frac{1}{2}\).
Essa solução não usa indução finita diretamente.