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Questão 2

(a) (5 pts) Dado um número $a > 0$, quanto medem os lados do retângulo de perímetro mínimo cuja área é $a$?

(b) (10 pts) Justifique matematicamente por que não se pode responder o item (a) se trocarmos “mínimo” por “máximo”.

Solução

(a) Sejam $x$ e $y$ as dimensões de um retângulo de área $a > 0$. Então $xy = a$, ou seja, a média geométrica de $x$ e $y$, dada por $\sqrt{xy}$, é igual a $\sqrt{a}$. A média aritmética $\frac{x+y}{2}$ desses dois números positivos é sempre maior ou igual à sua média geométrica, e a igualdade se dá se, e somente se, $x = y$ (o que, por conseguinte, resulta em $x = y = \sqrt{a}$).

Então o perímetro $2x + 2y$, que é 4 vezes a média aritmética, é mínimo e igual a $4\sqrt{a}$ quando o retângulo é um quadrado de lados iguais a $\sqrt{a}$.

(b) Basta mostrar que não existe retângulo de perímetro máximo com área $a > 0$ fixada. Para isso, é suficiente mostrar que existem retângulos com essa área e perímetro tão grande quanto se queira.

Por exemplo, para cada número natural $n \geq 2$ tomamos o retângulo $R_n$ de lados $n\sqrt{a}$ e $\frac{\sqrt{a}}{n}$. Evidentemente a área desse retângulo é $a$.

Por outro lado, seu perímetro é

$$
2n\sqrt{a} + \frac{2}{n}\sqrt{a},
$$

que é maior do que $2n\sqrt{a}$. Assim, dado qualquer número $p > 0$ sempre se pode achar $n$ tal que o perímetro de $R_n$ é maior do que $p$, bastando tomar $n$ tal que $2n\sqrt{a} > p$.

Solução Detalhada

Questão 2 — Solução detalhada

(a) Enunciado: Dado um número $a > 0$, quanto medem os lados do retângulo de perímetro mínimo cuja área é $a$?

Solução (a) — prova com desigualdade AM–GM

Sejam $x$ e $y$ os comprimentos dos lados do retângulo, com $x>0$ e $y>0$, e suponha que a área é $a$, ou seja,

$$
xy = a.
$$

O perímetro desse retângulo é

$$
P = 2(x+y).
$$

Aplicando a desigualdade da média aritmética e média geométrica (AM–GM) para os positivos $x$ e $y$ temos

$$
\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} = \sqrt{a}.
$$

Multiplicando por $2$:

$$
x+y \ge 2\sqrt{a}.
$$

Logo o perímetro satisfaz

$$
P = 2(x+y) \ge 4\sqrt{a}.
$$

A igualdade em AM–GM ocorre se, e somente se, $x = y$. Portanto o menor perímetro possível é $4\sqrt{a}$ e ocorre quando

$$
x = y = \sqrt{a}.
$$

Concluímos que o retângulo de perímetro mínimo, para área fixa $a$, é o quadrado de lado $\sqrt{a}$.

Solução (b) — não existe máximo

Queremos mostrar que, mantendo a área $a>0$ fixa, não existe um retângulo de perímetro máximo; isto é, para qualquer valor $M>0$ existe um retângulo com área $a$ cujo perímetro é maior do que $M$.

Construímos a família de retângulos $R_n$ (para $n\in\mathbb{N}$, $n\ge 1$) cujos lados são

$$
\text{lado 1} = n\sqrt{a},\qquad \text{lado 2} = \frac{\sqrt{a}}{n}.
$$

Verifique que a área é

$$
\big(n\sqrt{a}\big)!\left(\frac{\sqrt{a}}{n}\right) = a,
$$

portanto todos esses retângulos têm área $a$.

O perímetro de $R_n$ é

$$
P_n = 2\left(n\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a}}{n}\right) = 2\sqrt{a}\left(n + \frac{1}{n}\right).
$$

Como $n + \frac{1}{n} \ge n$ (e de facto $n + 1/n \to +\infty$ quando $n\to\infty$), segue que

$$
P_n \ge 2\sqrt{a}\, n \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty} P_n = +\infty.
$$

Logo, dado qualquer número $M>0$, tome $n$ tal que $2\sqrt{a}\,n > M$ (por exemplo $n>\frac{M}{2\sqrt{a}}$). Para esse $n$ tem-se $P_n>M$. Portanto não existe um perímetro máximo: podemos construir retângulos de mesma área com perímetro arbitrariamente grande.

Intuitivamente, isso equivale a “esticar” um lado até que o outro fique muito pequeno — a área (produto dos lados) permanece $a$, mas a soma dos lados (e portanto o perímetro) cresce sem limite.

Conclusão

Resposta (a): os lados do retângulo de perímetro mínimo são $x = y = \sqrt{a}$; o perímetro mínimo é $P_{\min} = 4\sqrt{a}$.
Resposta (b): não existe retângulo de perímetro máximo com área $a$ fixa, porque podemos construir retângulos com perímetro arbitrariamente grande (família $R_n$ acima).